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2024届高三10月大联考（全国乙卷）数学h试卷答案

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所以（学}是以号为公差的等差数列，,4分则始=专十号n-10,即a=(2m-1D36分(2)解：Sn=1X3°+3×31+…+(2n-3)3m-2+(2m-1)3m-1,①7分①×3，得3Sm=1×31+3×32+…+(2m-3)3m-1+(2-1)3”,②……8分②-①，得2Sn=-1X30-2X31-2×32-…-2×3”1+(2n-1)3m=-1X39_2X31-2X3+(2m-1D3.1-310分所以S%=(n-1)3m十1.……12分20.(1)证明：连接EP,DF.因为DE是三棱锥D一ABC的高，即DE⊥平面ABC,所以DE⊥BC.·1分因为DB=DC,所以DF⊥BC,…2分D又DF∩DE=D,所以BC⊥平面DEF,所以BC⊥EF.…3分又BCLAF,所以点E在AF上.…5分(2)解：以E为坐标原点，E萨，ED的方向分别为x,之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(一√3,0,0)，B(23,一3,0)，C(23,3,0),D(0,0,2),Bd=(-23,3,2),BA=(-33,3,0),BC=(0,6,0).…7分设平面BCD的法向量m=(x2,y2,2),.m=0即251392-0取5，则m=5,0.3).则B流·m=0,{6=0,…8分Ad-(33,3,0),设AG=λAC,则入∈(0,1).EG=Ei+入AC=(-√3,0,0)十(33,3,0)=(3/3入-√5,3入，0).…9分设平面DEG的法向量u=(x3,y,3),1ED·u=0,m122=0,则流=0，即(33X-3)x十3航=0即{取=5，则u=(3,}-3,0八.…10分asu,m》=州√X√33≤2V3+(只-32×252V8+(安-3当且仅当入=方时，等号成立.故平面DEG与平面BCD夹角余弦值的最大值为2：12分21.解：(1)由题可知a2十b=16,……1分又bx十ay=0是双曲线C的一条渐近线，2分所以=2√3，解得b=2√3，…......3分√a2+所以a=√/16-b=2,4分所以双前线C的标准方程为号一爸=1…5分(2)假设存在P(n,0),设A(x,y1),B(x2,y2),(x=my+4,设直线w46o.则号言-1.两82-1)y2+24y+36=0,【高三数学·参考答案第4页（共5页）】·23-95C·

分析由已知求出k=1，函数y=x²（x＞0）的导数为y′=2x，由此利用导数的几何意义求出y=kx²在点（a_n，a_n²）处的切线方程，从而得到数列{a_n}是等比数列，公比q为$frac{1}{2}$，由此能求出S₅．

解答解：∵二次函数y=kx²（x＞0）的图象在点（a_n，a_n²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n+1，n为正整数，
∴${{a}_{n}}^{2}=k{{a}_{n}}^{2}$，解得k=1，
∴函数y=x²（x＞0）的导数为y′=2x，
则在点（a_n，a_n²）处的切线方程为：y-a_n²=2a_n（x-a_n），
当y=0时，解得x=$frac{1}{2}{a}_{n}$，
∴a_n+1=$frac{1}{2}$a_n，即数列{a_n}是等比数列，公比q为$frac{1}{2}$，
∵a₁=$frac{1}{3}$，∴S₅=$frac{frac{1}{3}（1-frac{1}{{2}^{5}}）}{1-frac{1}{2}}$=$frac{31}{48}$．
故答案为：$frac{31}{48}$．

点评本题考查数列的前5项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义和等比数列性质的合理运用．

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