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河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评(Ⅵ)数学h试卷答案

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,Ci.C才=(2b-c(1)求A:(2)若c<b,b+c=2a,求sinC.18.(12分)冬奥会全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办届.2022年冬季奥运会由中国北京承办，本届赛事共设7个太项5个分项，109个小项，共计产生109枚金牌.某校组织了一次有关冬奥会的知识竞赛.知识竞赛试卷中有一类双项选择题每题有4个备选项，其中有且仅有2项是正确的.得分规则如下：所选选项中，只要有错误选项，得0分弃答得1分仅选1项且正确，得2分；选2项且正确得6分(1)同学甲在一道双项选择题中随机选择两个选项，求甲该题获得0分的概率

(2)学生乙对其中一道双项选择题只能确定1个选项是错误的，现有2个策略：①从剩下3个选项中任选1个作答；②从剩下3个选项中任选2个作答.为使得分的期望最大，该学生应该选择哪一个策略？P=7:3an=Sn-Sn19.(12分)已知数列a满足a=1,a=9,4=45,一3a为等比数列(1)证明：学)是等差数列，并求出{a,}的通项公式

(2)求{an》的前n项和为S.【高三数学第3页（共4页）】·23-95C·

分析（1）根据A为通径的端点，可得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），带入x²=2y得c²=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，结合△ABF的周长2c+$\frac{2{b}^{2}}{a}$+1=3+2$\sqrt{2}$．解出a，b，c值，可得椭圆C₁的方程；
（2）设P（2m，2n）（n≠0），可得以线段OP为直径的圆的方程与单位圆相减，可得直线CD的方程，联立椭圆方程，代入三角形面积公式，结合二次函数的图象和性质，可得△OEG的面积S_△OEG的取值范围．

解答解：（1）由题意可得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），带入x²=2y得c²=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
又△ABF的周长为：2c+$\frac{2{b}^{2}}{a}$+1=3+2$\sqrt{2}$，
所以a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
所以椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设P（2m，2n）（n≠0），则以线段OP为直径的圆的方程为（x-m）²+（y-n）²=m²+n²，
又圆O的方程为x²+y²=1，
两式相减得直线CD的方程为2mx+2ny=1．
由$\left\{\begin{array}{l}2mx+2ny=1\\\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\end{array}\right.$得（4m²+2n²）x²-4mx+1-8n²=0，
设E（x₁，y₁）、G（x₂，y₂），
则S_△OEG=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{4n}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{16{m}^{2}+8{n}^{2}-1}{（8{m}^{2}+4{n}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{2}{8{m}^{2}+4{n}^{2}}-\frac{1}{{（8{m}^{2}+4{n}^{2}）}^{2}}}$，
令t=$\frac{1}{8{m}^{2}+4{n}^{2}}$，则S_△OEG=$\sqrt{-2{t}^{2}+4t}$，t∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$]
∵y=-2t²+4t的图象是开口朝下，且以直线t=1为对称轴的抛物线，故t∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$]时，函数为增函数，
故S_△OEG∈$（{\frac{{\sqrt{30}}}{8}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}]$．

点评本题考查的知识点是抛物线的性质，椭圆的性质，圆的性质，二次函数的图象和性质，三角形面积公式，综合性可，难度较大．

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