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巴蜀中学2023届高考适应性月考卷(5五)数学试卷答案

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6．已知直线x+2y-3=0与圆x²+y²+x-2cy+c=0的两个交点为A，B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．

分析（1）由于tan$frac{β}{2}$=$frac{1}{2}$，可得sinβ=$2sinfrac{β}{2}cosfrac{β}{2}$=$frac{2sinfrac{β}{2}cosfrac{β}{2}}{si{n}^{2}frac{β}{2}+co{s}^{2}frac{β}{2}}$=$frac{2tanfrac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}frac{β}{2}}$．同理可得cosβ=$frac{1-ta{n}^{2}frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}frac{β}{2}}$．
（2）∵$overrightarrow{a}•overrightarrow{b}=frac{5}{13}$=cosαsinβ+sinαcosβ=$frac{4}{5}$cosα+$frac{3}{5}$sinα，又α∈（0，π），sin²α+cos²α=1，解出即可．

解答解：（1）∵tan$frac{β}{2}$=$frac{1}{2}$，∴sinβ=$2sinfrac{β}{2}cosfrac{β}{2}$=$frac{2sinfrac{β}{2}cosfrac{β}{2}}{si{n}^{2}frac{β}{2}+co{s}^{2}frac{β}{2}}$=$frac{2tanfrac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}frac{β}{2}}$=$frac{2×frac{1}{2}}{1+（frac{1}{2}）^{2}}$=$frac{4}{5}$．
同理可得cosβ=$frac{1-ta{n}^{2}frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}frac{β}{2}}$=$frac{1-（frac{1}{2}）^{2}}{1+（frac{1}{2}）^{2}}$=$frac{3}{5}$．
（2）∵$overrightarrow{a}•overrightarrow{b}=frac{5}{13}$=cosαsinβ+sinαcosβ=$frac{4}{5}$cosα+$frac{3}{5}$sinα，
又α∈（0，π），sin²α+cos²α=1，
化为7sin²α-150sinα+48=0，
解得sinα=$frac{75-sqrt{5289}}{7}$．

点评本题考查了三角函数求值、倍角公式、同角三角函数基本关系式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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