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已知函数.

（1）求的值；

（2）若函数在区间是单调递增函数，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在区间内有两个实数根，记，求实数的取值范围 .

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（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

分析：(1)先根据二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数，再代入求的值；(2)根据正弦函数性质确定单调性递增区间，再根据区间之间包含关系列不等式，解得实数的取值范围；(3)先根据正弦函数图像确定a的取值范围，再根据对称性得，最后代入求实数的取值范围.

详解：

（Ⅰ）∵

∴

（Ⅱ）由，

得，

∴在区间上是增函数

∴当时，在区间上是增函数

若函数在区间上是单调递增函数，则

∴，解得

（Ⅲ）方程在区间内有两实数根等价于直线与曲线 有两个交点.

∵当时，由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数，且，，，

∴

即实数的取值范围是

∵函数的图像关于对称

∴，∴

∴实数的取值范围为.

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