高中数学圆锥曲线系统讲解第33讲《极点与极线》练习及答案,以下展示关于高中数学圆锥曲线系统讲解第33讲《极点与极线》练习及答案的相关内容节选，更多内容请多关注我们

1、 1 第第 33 讲讲 极点与极线极点与极线 知识与方法知识与方法 极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.1极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图 1 所示，设 P 为椭圆外一点，过 P 作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于 A、B 和 C、D 四点，AC与BD交于点 M，AD与BC交于点N，则称点 P 为直线MN关于椭圆的极点，直线MN为点 P 关于

2、椭圆的极线.另一方面，图 1也可以这么来看，从椭圆外的点 N 作椭圆的两条割线分别交椭圆于 A、D 和 B、C 四点，AC与BD交于点 M，AB 与 CD 交于点 P，所以点 N 和直线 PM 也是一对极点极线，事实上，点 M 和直线 PN 也是一对极点极线，因此在PMN中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将PMN称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线这个图形有两种特殊情况：（1）如图 2 所示，当四边形ABCD有一组对边平行时，如ADBC，此时我们看成AD和BC的交点N在无穷远处，那么以M为极点，对应的极线是图2中的2PN，其中2PNBC；

3、以 P 为极点，那么极线是1MN，其中1MNBC；（2）如图 3 所示，当其中一条割线变成切线时，此时 D、M、N 几个点就都与切点 C重合，从而点 C 和切线PC是一对极点极线.2极点极线的代数定义：在平面直角坐标系xOy中，设有圆锥曲线 C（圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与 C 的对称中心重合的点()00,P x y，在圆锥曲线 C 的方程中，用0 x x替换2x，0y y替换2y，02xx+替换 x，02yy+替换 y，得到的方程即为以 P 作为极点的极线l的方程.例如，设椭圆 C的方程为2212xy+=，极点为()2,4P，则与 P对应的极线为2412xy+=，即410 xy+=；

4、又如，设抛物线 C 的方程为22yx=，极点为()2,4P，则与 P 对应的极线为2422xy+=，即420 xy+=.可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点 P 的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点 P 在不同位置时，2 极线 l 的情形：（1）当点 P 在椭圆 C 上时，极线 l 为椭圆 C 在 P 处的切线，如图 4 所示；（2）当点 P 在椭圆 C 外部时，极线 l 为点 P 对椭圆 C 的切点弦所在直线，如图 5 所示；（3）当点 P 在椭圆 C 内部时，过点 P 任作椭圆 C 的一条割线交 C 于 A、B 两点，椭圆C

5、 在 A、B 两点处的切线交于点 Q，则当割线AB绕着点 P 旋转时，点 Q 的轨迹就是极线 l，如图 6 所示.3极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）（1）如图 7 所示，O 为椭圆中心，点 P 在椭圆内，延长OP交椭圆于点 Q，交椭圆与点 P 对应的极线 l 于点 M，则OP、OQ、OM成等比数列；当 P 恰好为弦AB的中点时，直线AB的方程为2200002222x xy yxyabab+=+，且极线 l 和椭圆在点 Q 处的切线均与AB平行.（2）调和分割性：如图 8 所示，设极点 P 的极线是直线 l，过 P 作椭圆的一条割线交椭圆于 A、B 两点，交极线 l 于点 Q，则 P、A、

6、Q、B 成调和点列，即PAQAPBQB=（或写成211PQPAPB=+）（3）配极原理：若点 P 关于椭圆的极线过点 Q，则点 Q 关于椭圆的极线也过点 P.由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图 9 所示，极点1P、2P、3P的极线分别为1l、2l、3l，则1P、2P、3P共线1l、2l、3l共点.提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置.典型例题典型例题【例 1】（2021 新高考卷 多选）已知直线2:0l axbyr+=与圆222:C xyr+=，点(),A a b则下列说法正确的是（）3 A.若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B.若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离 C.若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离 D.若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切【解析】解法1：A项，若点A在圆C上，则222abr+=，圆心C到直线l的距离222rdrab=+，所以直线 l 与圆 C 相切

3.经典诗文默写。[在第(1)~(7)题中,任选五题;在第(8)-(10)题中,任选一题](6分)(1),甲光向日金鳞开。(李贺《雁门太守行》)(2)东风不与周郎便,。(杜牧《赤壁》)(3),恨别鸟惊心。(杜甫《春望》)(4),万里送行舟。(李白《渡荆门送别》)(5)此物何足贵?。(《庭中有奇树》)。(李清照《渔家傲》)(6)我报路长嗟日暮,(7),绿水透。(欧阳修《采桑子》)(8)人则无法家拂士,,国恒亡。(《生于忧患,死于安乐》)(9),曾不能毁山之一毛,其如土石何?(《愚公移山》)(10)它在西北极普遍,不被人重视,。(茅盾《白杨礼赞》)

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