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1、 1 第第 5 讲讲 阿氏圆阿氏圆 知识与方法知识与方法 1.阿氏圆：设 A、B 是平面上的两个定点，若平面内的动点 P 满足PAPB=（0且1），则点 P 的轨迹是圆，该圆叫做阿氏圆.2考题中常用的阿氏圆性质：（1）圆心位置：当1时，圆心 M 在AB的延长线上；当01时，圆心 M 在BA的延长线上.（2）半径公式：21dr=，其中 d 为两定点 A、B 之间的距离.（3）找定点：如右图所示，设圆 M 的半径为 r，对于圆 M 外任意一点 A，连接AM交圆 M 于点 N，则在线段MN上必定存在点 B，使得对于圆 M 上任意一点 P，都有PAPB=，可以根据2MAMBr=找到点 B，根据MAMB

2、=求出.典型例题典型例题【例题】已知两个定点()2,0A，()4,0B，若动点 C 满足2CBCA=，则点 C 的轨迹方程为_.【解析】设(),C x y，因为2CBCA=，所以()()2222422xyxy+=+，化简得：()22416xy+=【答案】()22416xy+=变式 1 已知圆()22:416Mxy+=，点()2,0A，若 x 轴上的定点 B 满足对圆 M 上的任意一点 C，都有PAPB=恒成立，其中为常数，则点 B 的坐标为_，常数_.2 【解析】设(),0B a，()00,C x y，则()2200416xy+=，所以()22200001648yxxx=+=，故()()()2

3、222000000022222200000002448442828xyCAxxxxxCBxaxaxxaxaxay+=+，要使CACB为定值，应有24428aa=+，解得：4a=或2（舍去），所以点 B 的坐标为()2,0，此时0044116162CAxCBx=，即12=.解法 2：如图，由阿氏图性质，点 B 在MA的延长线上，且2MAMBr=，所以216MB=，故8MB=，显然()4,0M，从而点 B 的坐标为()4,0，12MAMB=.【答案】()2,0，12 变式 2 在ABC中，6AB=，2BCAC=，则ABC的面积的最大值为_.【解析】解法 1：设ABc=，BCa=，ACb=，则6c=

4、，2ab=，由余弦定理，22222536cos24abcbCabb+=，所以22222221536sinsin1cos124ABCbSabCbCbCbb=()()4222242225360361194014492092561644bbbbbb+=+=+，所以当2 5b=时，ABC的面积取得最大值 12.解法 2：以AB中点 O 为原点建立如图 1 所示的平面直角坐标系，则()3,0A，()3,0B，设(),C x y，因为2BCAC=，所以()()2222323xyxy+=+，化简得：()22516xy+=()0y 3 所以点 C 的轨迹是以()5,0M 为圆心，4 为半径的圆（不含与 x 轴

5、的交点)，如图 1，由图可知，()max164122ABCS=.解法 3：由2BCAC=可知点 C 的轨迹是阿氏圆，设圆心为 M，半径为 r，如图 2，由阿氏圆性质，22264121dr=，结合图形可得()max164122ABCS=.【答案】12 变式 3 在平面直角坐标系中，已知点()4,0B，()1,4D，C 为圆()22:416Mxy+=上的动点，则2CBCD+的最小值为_.【解析】先根据阿氏圆性质，找到与点()4,0B对应的圆 M 内的定点 A，由2MAMBr=可得2MA=所以()2,0A，且对于圆 M 上的任意一点 C，都有2CBMBCAMA=，从而2CBCA=所以()2222CB

6、CDCACDCACD+=+=+，如图，由图可知当点 C 在圆 M 上运动到如图所示位置时，CACD+取得最小值，且最小值为()()2221045AD=+=，所以2CBCD+的最小值为 10.4 【答案】10 变式 4 在平面直角坐标系中，已知点()4,0B，()4,2D，C 为圆()22:416Mxy+=上的动点，则2CBCD的最大值为_.【解析】先根据阿氏圆性质，找到与点()4,0B对应的圆 M 内的定点 A，由2MAMBr=可得2MA=，所以()2,0A，且对于圆 M 上的任意一点 C，都有2CBMBCAMA=，从而2CBCA=所以()2222CBCDCACDCACD+=+=+，如图，由图可知当点 C 在圆 M 上运动到如图所示位置时，CACD取得最大值，且最大值为2 2AD=，所以2CBCD的最大值为4 2.【答案】4 2 变式 5 已知抛物线2:4C yx=的焦点为 F，P 为 C 上的动点，Q 为圆()22:54Mxy+=上的动点，则22PFPQQF+的最小值为_.【解析】由题意，()5,0M，如图，作PN 抛物线 C 的准线1x=于 N，由抛物线定义，|PFPN=所以222

1.茶马古道是我国历史上内地和西部边疆地区进行茶马贸易所形成的古代交通路线,兴于唐《宋,盛于明清,主要有滇藏、川藏、陕甘茶马古道。明代文学家汤显祖在《茶马》诗中这样写道:“黑茶一何美,羌马一何殊”“羌马与黄茶,胡马求金珠。”茶马古道的发展A.促进了中西经济文化交流B.巩固了传统的“宗藩”秩序C.增强了中华民族的认同感D.反映了边疆治理能力提升

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