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伯乐马 2024年普通高等学校招生新高考模拟考试(九)9数学h试卷答案

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7、如图所示，竖直放置在水平面上的高为h的圆筒内壁光滑，从圆筒上边缘内侧紧贴圆筒以初速度

水平发射一个小球，小球紧贴内壁运动，最后达到水平面，不计空气阻力和所有摩擦，重力加速度为g,以下判断正确的是A.小球做匀变速曲线运动B.小球沿圆桶运动的时间一定大于2hC.小球到达水平面的速度大小为√+2ghD.小球沿桶运动的路程为02h8.2022年4月16日0时44分，神舟十三号与空间站天和核心舱分离，正式踏上回家之路，分离过程简化如图所示

二者分离前天和核心舱处于半径为1的圆轨道I,神舟十三号飞船从P点脱离后沿轨道Ⅱ返回半径为2的近地圆轨道Ⅲ上，Q点为轨道Ⅱ与轨道Ⅲ的切点，然后再多次调整轨道，绕行5圈后顺利落在东风着陆场，则下列判断正确的是A.飞船由轨道I进人轨道Ⅱ需要在P点减速轨道ⅡB.飞船由P到Q的时间大于在轨道Ⅲ上运行周期的一半0C.飞船在轨道Ⅱ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能轨道Ⅲ轨道1D.飞船在轨道I与地心连线和在轨道Ⅲ与地心连线在相同时间内扫过的面积相等9.如图所示，传送带AB、CD的长度相等，与水平方向的夹角均为日，AB、CD间通过一段长度可忽略的轨道BC平滑过渡，两传送带均以相同的速率沿逆时针方向传动

将一小物块由AB的顶端A点由静止释放，小物块在传送带上运动的最大速度不小于o

已知物块与AB、CD间的动摩擦因数u1h分别满足u1>tan0、山2<tan6

则下列有关小D物块运动过程中的v-t图像，可能正确的是BC010.如图所示，一粗糙程度均匀的绝缘竖直细杆处于两等量异种点电荷连线的竖直中垂线上，细杆与两点电荷均固定

P、O、Q为细杆上的三点，O为两点电荷连线的中点，P在0点上

分析（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，-2），即可解得a；
（2）①依题意：f′（x）=0有两个不等实根x₁，x₂（x₁＜x₂），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；
②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x₁∈（0，1），设h（x）=$\frac{1}{2}$（xlnx-x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．

解答解：（1）由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），
f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，
切线方程：y-a=（2a+1）（x-1），
把（0，-2）代入得：a=1；
（2）证明：①依题意：f′（x）=0有两个不等实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
设g（x）=lnx+2ax+1则g′（x）=$\frac{1}{x}$+2a（x＞0）；
当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；
当a＜0时：由g′（x）=0得：x=-$\frac{1}{2a}$＞0，
列表如下：
x（0，-$\frac{1}{2a}$）-$\frac{1}{2a}$（-$\frac{1}{2a}$，+∞）g′（x）+0-g（x）↗极大值↘依题意：g（-$\frac{1}{2a}$）=ln（-$\frac{1}{2a}$）＞0，解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
综上可得，-$\frac{1}{2}$＜a＜0得证；
②∵x₁＜-$\frac{1}{2a}$＜x₂，又∵f′（1）=ln1+1+2a＞0，
∴x₁＜1；f′（x₁）=1+lnx₁+2ax₁，
∴f（x₁）=x₁lnx₁+ax₁²
=x₁（-1-2ax₁）+ax₁²=-x₁（1+ax₁），
∵x₁＞0，1+ax₁＞0；∴f（x₁）＜0；
易知f（x₂）＞f（x₁），
又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x₁∈（0，1），
由（1）知：ax₁=$\frac{-1-ln{x}_{1}}{2}$，f（x₁）=x₁lnx₁+ax₁²=$\frac{1}{2}$（x₁lnx₁-x₁）（0＜x₁＜1）
设h（x）=$\frac{1}{2}$（xlnx-x）（0＜x＜1），则h′（x）=$\frac{1}{2}$lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，
故：h（x）＞h（1）=-$\frac{1}{2}$，也就是f（x₁）＞-$\frac{1}{2}$，
故f（x₂）＞-$\frac{1}{2}$．

点评本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．

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