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重庆康德2023年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷(七)数学试卷答案

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20．下列结论中，成立的是（　　）

分析（1）设P（x，y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹方程；
（2）联立直线方程和圆的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，结合基本不等式，即可得到最小值．

解答解：（1）设P（x，y），由题意可得$frac{|PO|}{|PA|}$=$frac{1}{2}$，
即为2$sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，
化简可得x²+y²+2x-3=0，
曲线C的方程为圆（x+1）²+y²=4；
（2）将直线y=kx-2代入圆的方程，
可得（1+k²）x²+（2-4k）x+1=0，
判别式为（2-4k）²-4（1+k²）＞0，由k＜-2，显然成立；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$frac{4k-2}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$frac{1}{1+{k}^{2}}$，
即有y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）
=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=$frac{4+4k-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
则$overrightarrow{OA}$•$overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$frac{5+4k-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$
=-3+$frac{4（2+k）}{1+{k}^{2}}$，可令2+k=t（t＜0），
可得$frac{4（2+k）}{1+{k}^{2}}$=$frac{4t}{{t}^{2}-4t+5}$=$frac{4}{t+frac{5}{t}-4}$，
由t+$frac{5}{t}$≤-2$sqrt{t•frac{5}{t}}$=-2$sqrt{5}$．
当且仅当t=-$sqrt{5}$，即k=-2-$sqrt{5}$，等号成立．
即有$frac{4}{t+frac{5}{t}-4}$≥$frac{4}{-2sqrt{5}-4}$=4-2$sqrt{5}$，
则$overrightarrow{OA}$•$overrightarrow{OB}$≥1-2$sqrt{5}$．
故当k=-2-$sqrt{5}$时，$overrightarrow{OA}$•$overrightarrow{OB}$取得最小值1-2$sqrt{5}$．

点评本题考查曲线方程的求法，注意运用代入法，考查直线和圆的位置关系，注意联立直线和圆的方程，运用韦达定理，同时考查向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．

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