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安徽省2023年第四次中考模拟考试练习数学试卷答案

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6．已知圆的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为S，T，直线ST恰好经过椭圆C：$frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与x轴交于S，Q点，已知点P满足$overrightarrow{PS}•overrightarrow{PQ}$=0，点A，B在椭圆C上且$overrightarrow{OA}•overrightarrow{OB}$=0（O为坐标原点），求△PAB面积的最大值．

分析（1）根据平面向量的数量积求出$|{veca+vecb}|$的值即可判断正误；
（2）根据$overrightarrow{a}$•$overrightarrow{b}$=0，即可判断$overrightarrowa⊥overrightarrowb$；
（3）求出不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集即可；
（4）利用平面向量的数量积求出$overrightarrow{AB}$•$overrightarrow{AC}$的值即可．

解答解：对于（1），∵＜$veca$，$vecb$＞=60°，$veca=（2，0）$，$|{vecb}|=1$，
∴$|{veca+vecb}|$=$sqrt{{overrightarrow{a}}^{2}+2overrightarrow{a}•overrightarrow{b}{+overrightarrow{b}}^{2}}$=$sqrt{4+2×2×1×cos60°+1}$=$sqrt{7}$，（1）正确；
对于（2），$overrightarrowa=（{sinθ，sqrt{1+cosθ}}），overrightarrowb=（{1，sqrt{1-cosθ}}）$，θ∈（π，$frac{3π}{2}$），
∴$overrightarrow{a}$•$overrightarrow{b}$=sinθ+$sqrt{（1+cosθ）（1-cosθ）}$=sinθ+|sinθ|=sinθ-sinθ=0，
∴$overrightarrowa⊥overrightarrowb$，（2）正确；
对于（3），x∈R时，不等式|x+10|-|x-2|≥8等价于
$left{begin{array}{l}{（x+10）-（x-2）≥8，x＞2}\{（x+10）+（x-2）≥8，-10≤x≤2}\{-（x+10）+（x-2）≥8，x＜-10}end{array}right.$，
解得x≥0，
∴该不等式的解集为[0，+∞），（3）正确；
对于（4），Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴$overrightarrow{AC}$•$overrightarrow{CB}$=0，
∴$overrightarrow{AB}$•$overrightarrow{AC}$=（$overrightarrow{AC}$+$overrightarrow{CB}$）•$overrightarrow{AC}$=${overrightarrow{AC}}^{2}$+$overrightarrow{CB}$•$overrightarrow{AC}$=16，∴（4）错误．
综上，正确的命题是（1）（2）（3）．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评本题考查了平面向量的数量积的应用问题，也考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是综合性题目．

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