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2023届高三总复习S3·滚动周测卷(19十九)数学试卷答案

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14．计算：
（1）$frac{5}{6}{a}^{frac{1}{3}{b}^{-2}}$×（-3a${;}^{-frac{1}{2}}$b^-1）÷（4a${;}^{frac{2}{3}}$b^-3）${;}^{frac{1}{2}}$；
（2）log₃$sqrt{27}$+lg4+lg25+6${;}^{lo{g}_{4}}$²+（-2）⁰．

分析令f（x）=$frac{1}{2}$x²-2lnx，利用导数法求出函数的最值，进而可得关于x的方程$frac{1}{2}$x²-2lnx=m在区间[$frac{1}{e}$，e]上有实数解时，m的范围．

解答解：令f（x）=$frac{1}{2}$x²-2lnx，
则f′（x）=x-$frac{2}{x}$=$frac{{x}^{2}-2}{x}$，
当x∈[$frac{1}{e}$，$sqrt{2}$）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈[$sqrt{2}$，e]时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故当x=$sqrt{2}$时，f（x）取最小值1-ln2，
又由x=$frac{1}{e}$时，f（x）=$frac{1}{2{e}^{2}}+2$，x=2时，f（x）=$frac{{e}^{2}}{2}-2$，
故x=$frac{1}{e}$时，f（x）取最大值$frac{1}{2{e}^{2}}+2$，
若x的方程$frac{1}{2}$x²-2lnx=m在区间[$frac{1}{e}$，e]上有实数解，
m∈[1-ln2，$frac{1}{2{e}^{2}}+2$]

点评本题考查的知识点是函数的零点的判定定理，函数的值域，难度中档．

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