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4．正六边形ABCDEF中，已知$overrightarrow{AB}$=$overrightarrow{a}$，$overrightarrow{FA}$=$overrightarrow{b}$，则$overrightarrow{BC}$=$overrightarrow{a}$-$overrightarrow{b}$．（用$overrightarrow{a}$，$overrightarrow{b}$表示）

分析（1）由题意，借助于点到直线的距离公式列关于a，c的方程组，求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）写出直线l的方程，与椭圆方程联立求得A，B的坐标，结合$overrightarrow{OA}$+$overrightarrow{OD}$=$overrightarrow{BO}$求出D的坐标，再由对称性求得E的坐标，然后求出AB、DE的垂直平分线方程，联立求出交点M的坐标，再由|MA|=|MD|说明A，B，D，E四点共圆，并求得圆的标准方程．

解答解：（1）由题意可得$left{begin{array}{l}{frac{c}{a}=frac{sqrt{2}}{2}}\{frac{2}{sqrt{2}}=a}end{array}right.$，∴a=$sqrt{2}$，c=1．
则b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的标准方程为$frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意可知直线l的方程为$y=-frac{sqrt{2}}{2}（x-1）$，
联立$left{begin{array}{l}{y=-frac{sqrt{2}}{2}（x-1）}\{frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}end{array}right.$，得2x²-2x-1=0．
解得：$left{begin{array}{l}{{x}_{1}=frac{1-sqrt{3}}{2}}\{{y}_{1}=frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}}end{array}right.$，$left{begin{array}{l}{{x}_{2}=frac{1+sqrt{3}}{2}}\{{y}_{2}=frac{sqrt{2}-sqrt{6}}{4}}end{array}right.$．
不妨设A（$frac{1-sqrt{3}}{2}，frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}$），B（$frac{1+sqrt{3}}{2}，frac{sqrt{2}-sqrt{6}}{4}$），
再设D（x₀，y₀），
由$overrightarrow{OA}$+$overrightarrow{OD}$=$overrightarrow{BO}$，得$（frac{1-sqrt{3}}{2}+{x}_{0}，frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}+{y}_{0}）$=$（-frac{1+sqrt{3}}{2}，frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}）$．
∴${x}_{0}=-1，{y}_{0}=-frac{sqrt{2}}{2}$，即D（-1，-$frac{sqrt{2}}{2}$），则E（1，$frac{sqrt{2}}{2}$），
AB的中点坐标为（$frac{1}{2}$，$frac{sqrt{2}}{4}$），${k}_{AB}=frac{frac{sqrt{2}-sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}}{frac{1+sqrt{3}}{2}-frac{1-sqrt{3}}{2}}$=$-frac{sqrt{2}}{2}$．
AB的垂直平分线方程为$y-frac{sqrt{2}}{4}=sqrt{2}（x-frac{1}{2}）$，即$y=sqrt{2}x-frac{sqrt{2}}{4}$；
DE的中点坐标（0，0），${k}_{DE}=frac{frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}}{2}=frac{sqrt{2}}{2}$．
DE的垂直平分线方程为y=-$sqrt{2}x$．
联立$left{begin{array}{l}{y=-sqrt{2}x}\{y=sqrt{2}x-frac{sqrt{2}}{4}}end{array}right.$，解得：$x=frac{1}{8}，y=-frac{sqrt{2}}{8}$．
∴两直线交点坐标为M（$frac{1}{8}，-frac{sqrt{2}}{8}$）．
∵|MA|=$sqrt{（frac{1-sqrt{3}}{2}-frac{1}{8}）^{2}+（frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}+frac{sqrt{2}}{8}）^{2}}$=$frac{sqrt{99}}{8}$．
|MD|=$sqrt{（frac{1}{8}+1）^{2}+（-frac{sqrt{2}}{8}+frac{sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$frac{sqrt{99}}{8}$．
∴A，B，D，E四点共圆，圆的标准方程为$（x-frac{1}{8}）^{2}+（y+frac{sqrt{2}}{8}）^{2}=frac{99}{64}$．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了利用向量法求解直线与圆锥曲线的位置关系问题，考查计算能力，是中档题．

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