2023届名校名师测评卷(1一)数学试卷答案,我们目前收集并整理关于2023届名校名师测评卷(1一)数学得系列试题及其答案，更多试题答案请关注微信公众号：趣找答案/直接访问www.qzda.com(趣找答案)

2023届名校名师测评卷(1一)数学试卷答案，以下是该试卷的部分内容或者是答案亦或者啥也没有

15．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）

分析（1）把a_n=1+$frac{1}{2}$+$frac{1}{3}$+…+$frac{1}{n}$（n∈N^*）代入a_2n-a_n＞$frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1），得到$frac{7}{12}＞frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，然后利用对数式的性质可得x的取值范围；
（2）由${a}_{n}={a}_{n-1}+frac{1}{n}$，得${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=frac{2{a}_{n}}{n}-frac{1}{{n}^{2}}$，利用累加法可得${{a}_{n}}^{2}+frac{7}{4}$=$2（{a}_{1}+frac{{a}_{2}}{2}+frac{{a}_{3}}{3}+…+frac{{a}_{n}}{n}）-$$（1+frac{1}{{2}^{2}}+frac{1}{{3}^{2}}+…+frac{1}{{n}^{2}}）$$+frac{7}{4}$．即要证原不等式成立，只需证$1+frac{1}{{2}^{2}}+frac{1}{{3}^{2}}+…+frac{1}{{n}^{2}}＜frac{7}{4}$．再利用放缩法证得该结论．

解答（1）解：∵a_n=1+$frac{1}{2}$+$frac{1}{3}$+…+$frac{1}{n}$，
∴a_2n-a_n=$frac{1}{n+1}+frac{1}{n+2}+…+frac{1}{2n}$，
对于任意n≥2，a_2n-a_n的最小值为$frac{1}{3}+frac{1}{4}=frac{7}{12}$．
若a＞1，对于任意n≥2，不等式a_2n-a_n＞$frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，
即$frac{7}{12}＞frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，
∴log_（a+1）x-1og_ax+1＜1恒成立，也就是log_（a+1）x-1og_ax＜0恒成立，
即log_（a+1）x＜1og_ax，
则$frac{lgx}{lg（a+1）}＜frac{lgx}{lga}$，
∵a＞1，∴lgx[lg（a+1）-lga]＞0，
∴x＞1．
故x的取值范围是（1，+∞）；
（2）证明：∵${a}_{n}={a}_{n-1}+frac{1}{n}$，
∴$（{a}_{n}-frac{1}{n}）^{2}={{a}_{n-1}}^{2}$，即${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=frac{2{a}_{n}}{n}-frac{1}{{n}^{2}}$，
…
${{a}_{n-1}}^{2}-{{a}_{n-2}}^{2}=frac{2{a}_{n-1}}{n-1}-frac{1}{（n-1）^{2}}$，
${{a}_{3}}^{2}-{{a}_{2}}^{2}=frac{2{a}_{3}}{3}-frac{1}{{3}^{2}}$，
${{a}_{2}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}=frac{2{a}_{2}}{2}-frac{1}{{2}^{2}}$．
累加得：${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}=2（frac{{a}_{2}}{2}+frac{{a}_{3}}{3}+…+frac{{a}_{n}}{n}）$$-（frac{1}{{2}^{2}}+frac{1}{{3}^{2}}+…+frac{1}{{n}^{2}}）$，
∴${{a}_{n}}^{2}=2（{a}_{1}+frac{{a}_{2}}{2}+frac{{a}_{3}}{3}+…+frac{{a}_{n}}{n}）-（1+frac{1}{{2}^{2}}+frac{1}{{3}^{2}}+…+frac{1}{{n}^{2}}）$，
∴${{a}_{n}}^{2}+frac{7}{4}$=$2（{a}_{1}+frac{{a}_{2}}{2}+frac{{a}_{3}}{3}+…+frac{{a}_{n}}{n}）-$$（1+frac{1}{{2}^{2}}+frac{1}{{3}^{2}}+…+frac{1}{{n}^{2}}）$$+frac{7}{4}$．
要证原不等式成立，只需证$1+frac{1}{{2}^{2}}+frac{1}{{3}^{2}}+…+frac{1}{{n}^{2}}＜frac{7}{4}$．
当n=1，2时，不等式成立．
当n≥3时，$1+frac{1}{{2}^{2}}+frac{1}{{3}^{2}}+…+frac{1}{{n}^{2}}＜1+frac{1}{{2}^{2}}+frac{1}{2•3}+frac{1}{3•4}+…+frac{1}{（n-1）•n}$
=$1+frac{1}{4}+frac{1}{2}-frac{1}{3}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+…+frac{1}{n-1}-frac{1}{n}$=$frac{7}{4}-frac{1}{n}＜frac{7}{4}$．
∴${a}_{n}^{2}$+$frac{7}{4}$＞2（a₁+$frac{{a}_{2}}{2}$+$frac{{a}_{3}}{3}$+…+$frac{{a}_{n}}{n}$）（n∈N^*）成立．

点评本题是数列与不等式的综合题，考查了不等式恒成立问题，考查数列不等式的证明，考查对所学知识的迁移能力，解答（2）的关键是利用${a}_{n}={a}_{n-1}+frac{1}{n}$，得到${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=frac{2{a}_{n}}{n}-frac{1}{{n}^{2}}$，同时注意放缩法的合理运用，属难题．

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