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河南省名校联盟2022~2023学年高三下学期5月联考(2023.5)(3493C)数学试卷答案

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17．已知sinα和cosα是关于x的方程x²-2xsinα+sin²β=0的两个根，求证：2cos2α=cos2β．

分析进行数量积的坐标运算可得到cos2$θ=frac{7}{25}$，这样根据二倍角的余弦公式及θ的范围便可求出sinθ，cosθ，从而可以得出tanθ．

解答解：$overrightarrow{a}•overrightarrow{b}=cos2θ=1-2si{n}^{2}θ=frac{7}{25}$；
∴$si{n}^{2}θ=frac{9}{25}$；
∵$θ∈（frac{π}{2}，π）$；
∴$sinθ=frac{3}{5}$，$cosθ=-frac{4}{5}$；
∴$tanθ=frac{sinθ}{cosθ}=-frac{3}{4}$．
故选B．

点评考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，切化弦公式，清楚正弦函数、余弦函数在各象限的符号，要熟悉正余弦函数的图象．

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